正弦量、复数与相量

最开始，大家用电用的都是爱迪生一人垄断的直流电（DC）系统。在爱迪生与我们的英雄尼古拉·特斯拉发生一些争论之后，大家才发现交流电（AC）有多好用。
那交流电到底为啥好用呢，这得从交流电本身的特性讲起。

交流电与正弦量

交流电有很多形式，因为非正弦的周期函数一般都可以分解成正弦周期函数，所以我们首先研究这个最基本的正弦电流电路。
凡是按正弦规律随时间变化的电路量等都称为正弦量，正弦量在某时刻的值叫做瞬时值，通常用小写字母表示，如u,iu,i等。而有效值一般都用大写字母表示（U,IU,I），最大值加下标m（Um,ImU_m,I_m），后面要介绍的相量一般用大写字母上面加一个点来表示（U˙,I˙\dot{U},\dot{I}）。

  • 用函数表示正弦量是这个样子的：

f(t)=Fmcos(ωt+ψ)f(t)=F_mcos(\omega t+\psi)

式中的Fm、ω、ψF_m、\omega、\psi被称为正弦量的三要素。

  • 相位差
    比较两个同频率正弦量的相位时，假设正弦量1的 ψ1\psi_1 比正弦量2的 ψ2\psi_2 大，那么可以说正弦量1的相位超前正弦量2一个角度 φ=ψ1−ψ2\varphi=\psi_1-\psi_2 。也可以反过来说正弦量2滞后了 φ\varphi 。
    如果φ=0\varphi=0，说明同相。
    如果φ=±π2\varphi=\pm\frac{\pi}{2}，说明正交。
    如果φ=±π\varphi=\pm\pi，说明反相。
    相位差与计时起点的选择无关。

  • 有效值我就不细说了，中学都学过。
    公式是$$\int_{0}^{T} i^{2} R \mathrm{~d} t=I^{2} R T$$
    再注意一个正弦关系时有效值是最大值的12\frac{1}{\sqrt{2}}就好了。

  • 相量