一阶/二阶电路

假如将电阻们比作年轻人，随机应变的能力很牛逼，电路参数发生改变时（例如换个电源、短个路之类），它们身边的电路变量绝对是可以突变的。今儿来了两位老人家，名字叫电容和电感。这俩老兄弟对电流电压推推搡搡，来的时候欲拒还迎，去的时候偏偏挽回，电路变一变还得看他们脸色，这就很费时间了。啥事叫这两位一搅和，准要乱上一阵儿，才能稳定下来，这便是动态电路的暂态和稳态。
今儿，动态电路头疼，叫咱来帮帮忙，维持一下元件秩序，也想了解一下两位老头儿给自己的影响。那咱就从头开始了解了解。

电容和电感

这两位老先生可是最麻烦的人物，怎么说也先得把他俩调查清楚喽。

电容

线性电容这位老先生的单位是法拉（FF），拥有的是电荷量QQ，满足的最基本关系是 Q=UCQ=UC。依托这个基本关系，我们可以推出它的一切关系式。
比如在关联参考方向下

ic=dqdt=Cducdti_c=\frac{dq}{dt}=C\frac{du_c}{dt}

可以知道线性电容两端电流与电压的变化率成正比，这意味着，当电流不是无限值的时候，电压就不能突变；反推之，当电压突变时，流过电容的电流必然是无穷大的。
将上式移项，积分得

uC=1C∫−∞tiC(ξ)dξ=uC(t0)+1C∫t0tiC(ξ)dξu_{C} = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{t} i_{C}(\xi) d \xi = u_{C}\left(t_{0}\right)+\frac{1}{C} \int_{t_{0}}^{t} i_{C}(\xi) d \xi

这样就得到了电容两端电压关于时间的关系式，可以看出两点：

  1. 电压与电流全部过去历史有关。
  2. 若电压初始时刻值已知，则就能确定该初始时刻以后任意时刻的电压值。

电容从t0t_0到tt时间内储存的能量为

Wc=∫t0tu(ξ)i(ξ)dξ=∫t0tCu(ξ)du(ξ)dξdξ=12Cu2(t)−12Cu2(t0)W_c=\int ^t _{t_0}u(\xi)i(\xi)d\xi=\int ^t_{t_0}Cu(\xi)\frac{du(\xi)}{d\xi}d\xi=\frac12Cu^2(t)-\frac12Cu^2(t_0)

电容吸收的能量为电场能量之差。上式就把能量和电压扯上了关系。既然电压不能突变，能量肯定也是不能突变的吧。等等！能量本身就不能突变呀，这也反映出能量守恒的道理来。
最后，请记住这位老先生是储能元件，也是一种无源元件。

电感

线性电感这第二位老先生呢，单位是亨利（HH），拥有的是磁链（ψ\psi），满足的最基本关系是 ψL=Li\psi_L=Li。依托这个基本关系，我们可以推出它的一切关系式。
比如在关联参考方向下

u=dψLdt=Ldidtu=\frac{d\psi_L}{dt}=L\frac{di}{dt}

这个关系式跟电容的长得特像，或许这就是孪生兄弟？
再来看看能量公式

WL=∫t0tu(ξ)i(ξ)dξ=∫t0tLi(ξ)di(ξ)dξdξ=12Li2(t)−12Li2(t0)W_L=\int ^t _{t_0}u(\xi)i(\xi)d\xi=\int ^t_{t_0}Li(\xi)\frac{di(\xi)}{d\xi}d\xi=\frac12Li^2(t)-\frac12Li^2(t_0)

这对偶关系，必须锁死。

一阶电路

前头说过，只要有两位老头儿在就麻烦起来了，那究竟是怎么个麻烦法儿呢？由于电容、电感的微分/积分伏安关系，建立的电路方程将会是一组微分/微分-积分方程。用一阶常微分方程描述的电路叫做一阶（动态）电路。

在《电路》课本中将暂态电路的形式划分很细：一阶零状态，一阶零输入，二阶零状态，二阶零输入……
这里我希望能够获得一个一般的求解思路：我们讲电感、电容作为储能元件，其电压电流关系存在微分/积分的关系，为了方便我们对电路的描述，统一采用微分形式对建立电路方程。从而，获得一组微分形式的电路描述方程，电感电压是电流的微分，电容电流是电压的微分。电容电压，电感电流为电路的基本的“状态量”，所谓状态量是能够描述电路状态的最小变量。
电路里面存在两个储能元件，那么就会存在两个这样的“状态量”，我们称为“二阶系统”，这是不太准确的，因为状态量之间可能存在某种联系，比如两个串联的电感，两个电感电流是相等的，实际上独立的状态量依然是一个，因此我们仍然称这种电路系统为一阶系统。
系统的阶数和系统内独立的状态量的个数相等，但是“二阶系统”更为典型，尤其是含有一个电感，一个电容的二阶系统，因此《电路》中研究最多的还是一阶系统和二阶系统。

电路的状态发生突变，比如接上/断开电源啦，接入/断开元件啦，突然输入信号啦，我们把这种情况起个名儿，叫做换路。
换路的过程叫过渡过程，因为时间比较短，所以又叫暂态过程。暂态毕竟不是一个稳定的状态，所以我们把电路中物理量达到稳定值的状态，叫做稳态。

稳态可以认为是一个电路中的各物理量，进入一个周期性变化的状态，而不仅仅是保持不变。当然电路系统的参数必须是“时不变”的。“暂态”可以认为是一种稳态进入另一种稳态的过程，这个过程可长可短，只要我们电路参数不发生改变，那么必然会进入下一种稳态。

假设我们在t=0t=0时刻换路，前边的t=0−t=0_-是换路前的终了时刻，后边的t=0+t=0_+是换路后的初始时刻。初始时刻的everything物理量都叫初始条件。我们又知道，两位老先生总会挽留一些特别的东西，比如电容电压和电感电流，咱就把这俩跟别的区分开呗。所以uc(0+)u_c(0_+)和iL(0+)i_L(0_+)叫独立初始条件，别的初始值叫非独立初始条件。
接下来有请我们的换路定则，当当当当：
在换路时刻，如果电容电流保持为有限值，则电容电压不能跃变，如果电感电压保持为有限值，则电感电流不能跃变。即在换路瞬间，电容电压和电感电流不能突变。
数学表达式为

uc(0+)=uc(0−)iL(0+)=iL(0−)u_c(0_+)=u_c(0_-)\\i_L(0_+)=i_L(0_-)

由此，我们可以搭建出一条求解初始条件的完美路线：
tb
步骤大概是：

  1. t=0−t=0_-时将电容开路、电感短路（因为是稳定状态），画出电路图，求uc(0−)u_c(0_-)和iL(0−)i_L(0_-)。
  2. 用换路定则，uc(0+)u_c(0_+)和iL(0+)i_L(0_+)就跟上面那俩相等。
  3. t=0+t=0_+时将电容当作电压源，电感当作电流源，求解各初始值。

综上，大概就是把换路定则当作桥梁，先求独立的初始条件，再通过独立的求非独立的。

一阶电路全响应和三要素法

对于一个储能元件，在t0时刻他可能具有一定的能量，也就是初始状态不为零。如果初始状态为零，我们将这种情况定义为“零状态”。例如，一个没有充电的电容器，或者一个没有通电的电感。如果这个电路系统中没有电压源或者没有电流源，那么我们将这种情况定义为“零输入”。
电路分析中，我们分析一个时刻t0开始电路进入暂态过程，一个最需要注意的就是t0时刻前后电路形式的转化。对于既有初始状态，也有输入的电路我们称为“全响应”。利用叠加定理，可以将全响应电路拆分为零输入和零状态响应分别求解，从而达到简化电路的目的。
全响应表达式（电容电压）为：

uC(t)=U0e−tτ+Us(1−e−tτ)全响应=零输入响应+零状态响应u_{\mathrm{C}}(t)=U_{0} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}+U_{\mathrm{s}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)\\全响应=零输入响应+零状态响应

当分解成强制响应与固有响应之和时，可以写成这样：

uC(t)=Us+(U0−Us)e−tτ(t≥0)全响应=稳态响应+瞬态响应全响应=强制响应+固有响应u_{C}(t)=U_{\mathrm{s}}+\left(U_{0}-U_{\mathrm{s}}\right) \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \quad(t \geq \mathbf{0})\\全响应 = 稳态响应 + 瞬态响应\\全响应=强制响应+固有响应

第一项是微分方程的特解uCp(t)u_{Cp}(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当t→∞t\rightarrow\infty时，uC(t)=uCp(t)u_C(t)=u_{Cp}(t)这个强制响应称为直流稳态响应。
第二项是对应微分方程的通解uCh(t)u_{Ch}(t)，称为电路的固有响应或自由响应，若时间常数 τ>0\tau>0，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应。
将上式中的UsU_{\mathrm{s}}和U0U_{0}分别替换成uC(∞)u_{C}(\infty)和uC(0+)u_{C}(0_{+})：

uC(t)=Us+(U0−Us)e−tτ(t≥0)=uC(∞)+[(uC(0+)−uC(∞))e−tτ](t≥0)\begin{aligned} u_{C}(t) &=U_{\mathrm{s}}+\left(U_{0}-U_{\mathrm{s}}\right) \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}(t \geq 0) \\ &=u_{C}(\infty)+\left[\left(u_{C}\left(0_{+}\right)-u_{C}(\infty)\right) \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right](t \geq 0) \end{aligned}

我们可以得到全响应表达式

f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−tτ(t≥0+)f(t)=f(\infty)+\left[f\left(0_{+}\right)-f(\infty)\right] \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \quad\left(t \geq 0_{+}\right)

可以看出，要求解全响应关于 tt 的表达式f(t)f(t)，只需要知道fC(∞)f_{C}(\infty)、fC(0+)f_{C}(0_{+})和 τ\tau 这三个值，所以叫它们三要素。
下面来看如何找到这三要素的值。
fC(0+)f_{C}(0_{+})，就是初始值，在前面我们已经知道了怎么通过换路定则求解。
fC(∞)f_{C}(\infty)，稳态值，只需要把稳态电路画出来求解就行了，这不前几章学过的知识嘛。
至于τ\tau，这是电容/电感在电路中的属性，经过计算可以知道τ=RC=GL\tau=RC=GL。其中的RR，就是在电路中，由动态元件两端看进去的戴维南等效电阻，GG就是它的倒数。
当t=4τt=4\tau时，我们可以认为过渡过程基本结束，达到稳态。对于二次换路来说，这个判断条件还是很有用的。
遇上二次换路，首先要判断两次换路之间的时间间隔与4τ4\tau之间的关系，确定是否达到了稳态值，稳态值又是多少；或者在变化过程中，通过f(t)f(t)找到瞬时值，连接到第二段换路。要注意，二次换路存在两个τ\tau，即τ1\tau_1和τ2\tau_2，不要忘记分别求取。

在求解除了动态元件参数之外的响应时，我们可以从这个元件的三要素老老实实求，也可以用第二种方法——找到这个非独立条件与独立条件之间的函数关系，通过动态元件的响应来求。
注意，当求电路中的零状态响应时，零状态只是对电容电压和电感电流而言的，别的元件/参数不一定是零状态。

一阶电路的阶跃响应

二阶电路